In 1998 schreef Richard S. Parks het artikel Pitch-Class Set Genera: My Theory, Forte’s Theory dat, zoals de titel aangeeft, ingaat op de pitch-class set genera theorie van Allen Forte. Deze theorie bevat het idee dat de 220 pitch-class set-classes, van drie tot negen elementen, in genera ingedeeld kunnen worden op basis van structurele gelijkenissen tussen sets. Forte stelt dat het systeem van genera een objectief skelet biedt om harmonisch materiaal aan te refereren; dat onafhankelijk is met betrekking tot muziek en enkel gebaseerd op de pythagorische traditie. De genera serveren dan modellen van verlangde inclusie, die vervolgens, volgens Forte’s theorie, vergeleken worden met het muzikale materiaal tot een ‘juiste passing’ wordt gevonden. Het verschil met Parks’ theorie, zoals hij stelt, is het vinden van een ‘good fit’, aan de ene kant, en het limiteren van het aantal mogelijke genera waarvan enkelen perfect passen tot een grijpbaar nummer, aan de andere kant. In 2003 is Richard C. Pye vervolgens op deze artikelen ingegaan door Parks’ theorie te testen met betrekking tot de harmonische dualiteit in William Schumans Zesde Symfonie in het essay The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony. Ik zal beginnen met een verslag van Parks’ theorie gebaseerd op Forte’s theorie, waarna ik de analyse van Pye en zijn bevindingen zal bespreken en waar nodig bekritiseren om de functionaliteit van deze analytische methode vast te kunnen stellen.[1]

Parks begint zijn artikel met het geven van definities ter ondersteuning van begrip. Een ‘cynosural set-class’ is de set-class waar een collectie pitch-class set-classes aan gerelateerd is door inclusie, waarbij een ‘simple genus’ de term is voor deze collectie pitch-class set-classes. Een simple genus bevat vervolgens ‘primary members of a simple genus’, de pitch-class set-classes die verbonden zijn aan de ‘cynosural set-class’ als subset of superset, en ‘ancillary members of a simple genus’ die Z-gerelateerd[2] zijn tot leden van het genus, maar geen subset of superset van de cynosural set-class zijn. Daarnaast heb je een ‘complex genus’ die een collectie omvat van pitch-class set-classes die gerelateerd zijn tot twee of meer cynosural set-classes door inclusie, als subset of superset van deze cynosures, waardoor zij samen een ‘union’ vormen. Hiervan heb je opnieuw ‘primary members of a complex genus’, als subset of superset van alle cynosural set-classes, waardoor een ‘intersection’ van simpele genera ontstaat, de ‘secondary members of a complex genus’ die subsets of supersets zijn van minimaal één, maar niet alle, cynosural set-classes en de ancillary members die alleen Z-gerelateerd zijn. Vervolgens noemt hij nog ‘characteristic members of a genus’ die drie tot negen elementen bevatten die aan een van de volgende criteria voldoen: i) ze zijn allen subsets of supersets van elkaar, ii) binnen hun interval vectoren bevatten ze gelijkmatige patronen in interval-class of iii) binnen de opeenvolgende interval-reeks vertonen ze gelijkmatige interval patronen.[3]

Daarna stelt Parks dat het voornaamste probleem met deze theorie ‘vruchtbaarheid’ is, aangezien het aantal te creëren genera ontelbaar zou zijn met als gevolg onbruikbaarheid. Volgens Parks zou dit aantal gereduceerd moeten worden, gebaseerd op de praktische idealistische lijnen van simpelheid, beheersbaarheid en symmetrie. Hiervoor heeft hij vier preferentieregels opgesteld die betrekking hebben op het muzikale object van onderzoek. Zo gaat de voorkeur uit naar de genera met de meeste pitch-class set-classes terug te vinden in de compositie, waarvan het genus gekozen moet worden met het grootste aantal set-classes in de primary of characteristic member vorm, het kleinste aantal (primary) members en het genus meest vergelijkbaar met herkenbare toonstructuren.[4]

De bruikbaarheid van deze theorie, is te zien wanneer een pitch-class set-class genera gevonden kan worden die op het muzikale object past. De structurele kwaliteiten van het genus omvatten dan ook het muzikale object; ofwel wat gezegd kan worden over het genus, kan gezegd worden over de compositie. In Pye’s essay test hij Parks’ theorie op basis van een analyse van Schuman’s Zesde Symfonie die ik hier zal bespreken. Pye stelt, voordat hij begint met zijn analyse, dat;

the real difficulties behind the further progress of genus theory are to be found […] in their application to real musical objects. Anyone seeking to deploy the genus theories of either Forte or Parks to model anything other than small-scale structures soon discovers that such models often form far-from-perfect interfaces with the music in question. However […] it is precisely in the perceived gap between model and object that meaningful analytical discoveries lie.[5]

Hij richt zijn analyse dus op het uitlichten van de moeilijkheden in de praktische toepassing van de theorie, maar ook op het bieden van een handvat om een betekenisvolle interpretatie uit de resultaten te produceren.[6]

De symfonie zou een harmonische dualiteit op twee levels in zich hebben; één met chromatische elementen en de ander met diatonische elementen. Dit contrast zou in de vorm van twee drieklanken plus één noot worden uitgespeeld. De eerste is het majeur-mineur akkoord set class 4-17 [0347] of C-Dis-E-G en de tweede is 4-14 [0237] of C-D-Dis-G. Hij laat door middel van zijn analyse zien hoe deze twee set-classes als basis functioneren voor de gehele compositie, waarbij 4-17 als een soort tonica geldt. In voorbeeld 1 zien we de eerste maten van het werk, waarin 4-17 verticaal in de eerste twee akkoorden voorkomt en algemeen vier keer. Daarnaast is het een melodisch segment van het thema (C#-Bb-F-D), aangezien [1,10,5,2] in oplopende vorm [12510] is. Wat dezelfde intervals-afstanden in zich heeft als [0347], namelijk 3-1-3-5. 4-14 is daarentegen alleen gehoord in de eerste verticaliteit van maat 3 en de eerste bastonen van het werk.[7]

Vervolgens stelt Pye een formeel ontwerp op van hoe de compositie structureel omschreven kan worden, gebaseerd op harmonisch en thematisch materiaal te zien in voorbeeld 2. Hij argumenteert dat de gegeven genera gekozen zijn op basis van harmonisch veel voorkomendheid die een rol spelen in tegenstellingen en samenhang, maar dat thematisch materiaal nog steeds cruciaal blijft voor de definitie van vorm. De brede formatieve scheidingen in het werk zouden dynamisch gelijklopen aan thematisch materiaal op maten 50, 169, 421, 495 en 688, waardoor een traditioneel vier bewegingen schema ontstaat met een introductie en coda. Wanneer ik echter naar het materiaal van de aangegeven grenzen kijk, zijn drastische thematische verschillen niet te vinden. De introductie en coda hebben, met uitzondering van het begin van Moderato con moto-gedeelte en de overgang tussen Leggeramente en Adagio, als enige delen thematisch materiaal B in zich. Waarna opvalt dat ‘A’ in het gehele stuk te vinden is en ‘C’ en ‘D’ afgewisseld worden met een groot blok ‘D’ in het midden, nagenoeg continu tot het einde, op maten 515-571 na. Deze verdeling lijkt echter geen verband te hebben met de dualiteit tussen 4-14 en 4-17. Pye biedt helaas alleen een analyse van de introductie en tweede beweging, waardoor voorbeeld 2 de enige houvast is voor het beoordelen van de grenzen van de gehele compositie.[8]

Om de harmonische dualiteit te verduidelijken, ondersteunt hij zichzelf met een matrix van pitch-class set-classes van de twee principiële tetrachorden, zie voorbeeld 3. De harmonische dualiteit is volgens hem duidelijk te zien in de opening, waar de chromatische 4-17 harmonisatie door middel van thema A geduelleerd wordt door thema B, waardoor de introductie van 4-14, geharmoniseerd met thema A in maat 9, benadrukt wordt. Door ondersteuning van subsets van 4-14, als 3-2 en 3-4, is de prioriteit van 4-14 als contrast vanaf het begin vastgezet. Door vervolgens non contextuele dissonante set-classes in te zetten die van chromatisch formaties naar diatonische set-classes oplossen, wordt deze contextuele dualiteit en de prioriteit van het diatonische, en specifiek 4-14, bevestigd. Zie voorbeeld 4.[9]

Door de hoorns en trombones het 4-17 materiaal te laten spelen, gevolgd door de strijkers in contrasterend 4-14 materiaal en de terugkeer van blazers met 4-17 stelt Schuman de dualiteit weer op scherp na introductie van het thematisch materiaal ‘C’ in maat 35-36. Zulke secties in de vorm van gescheiden blokken zouden volgens Pye als een handtekening van Schuman kunnen worden gezien; instrumentale groepen die cruciale delen voor het definiëren van structuren en opposities spelen. ‘From this perspective, the idea that the principal tetrachords may be fulfilling a cynosural role in the context of a clearly defined generic duality is a promising one.’[10] Belangrijk is dat niet alle complex members van 4-14 diatonisch zijn en andersom niet alle 4-17 complex members chromatisch naast het gebruik van diatonisch en chromatisch toonmateriaal dat geen onderdeel is van 4-14 of 4-17. Pye noemt dit een obstakel; aangezien het het analyseren op basis van genera gecompliceerder maakt. Echter zie ik het als een logisch gevolg van het uitwerken van muzikaal materiaal bij componeren en daardoor lichtelijk naïef van Pye.[11]

De beweging Moderato con moto zou uit drie delen bestaan; namelijk de 4-14, 4-17 en 3-11 beweging. Het begin, van maat 50 tot 80, blijft eigenlijk voortdraven op de spanning tussen 4-14 en 4-17 met ondersteuning van thema A. Echter, met de terugkeer van A en B in maat 80 wordt 4-14 herbevestigd, voornamelijk door middel van verticale toepassing. In maat 94 wordt 4-14 melodisch toegepast te zien als overgang tussen B en A; zie voorbeeld 5. Maat 94 is het enige moment waar 4-14 specifiek melodisch voorkomt naast verticaal gebruik. De rest van het thematisch materiaal bestaat uit 4-14 complex set-classes; zie voorbeeld 6.[12]

Een harmonische draai is op te merken bij de terugkeer van thema C in maat 123 met behulp van een versneld tempo, de verschuiving van strijkers naar blaasinstrumenten en de gesyncopeerde ritmes van thema C. In plaats van 4-14 of 4-17 materiaal te gebruiken, gebruikt Schuman het gedeelde materiaal van 3-11, zoals te zien in voorbeeld 7. 3-11 Heeft in deze beweging, te zien in voorbeeld 2, de functie van een transitie. Deze transitie wordt afgesloten op maat 132 met eens statement van een 4-17 akkoord in de blazers en strijkers. De maten 132 tot 149 laten vervolgens een reductie van noten zien, zodat melodische herhaling vermeden wordt. Akkoorden worden afgewisseld met snel melodisch materiaal, waarbij thema C verder doorgewerkt wordt. De tetrachorden zijn opnieuw op de voorgrond gezet met de majeur drieklank F-A-C in de pauk. De 4-17 zit daarnaast niet alleen in de bas akkoorden, maar ook in de melodielijn van de bovenste strijkers en blazers, waardoor de harmonische neutrale setting hervat wordt na de transitie; zie voorbeeld 8.[13]

Zoals te zien, is 4-17 niet het enige materiaal dat gebruikt wordt. Diatonische formaties worden toegepast om een soort cadentiele tegenspraak te vormen. Deze worden vervolgens opgelost in de context van de 4-17 harmonische norm. Zo is de tympanie drieklank F#-A-C# van maten 134, 136 en 137 een bemiddeling tussen zulke cadensen. In maat 143 vormt het een deel van de 4-17, terwijl het in maat 136 gecombineerd is met een 4-14 akkoord, namelijk Fb-Ab-A-Cb, waardoor het hexachord 6-23 [024579] ontstaat. De oplossing is vervolgens behaald via het diatonische basakkoord 3-5 A-Bb-Eb, gecombineerd met dezelfde drieklank van 4-17, 3-11, om de superset 5-32 [01469] te creëren. Zulke overgangen zijn vaker op te merken, zoals in maten 143 tot 146, door de verschuiving van E (4-17) naar D (4-14) in de trombones. Zulke verschuivingen zijn vaak versterkt door dynamiek en instrumentatie.[14]

Volgens Pye bevat de driedelige structuur, van maat 80-122, 123-132 en 132-168 in de 4-14, 3-11 en 417 verdeling, het harmonische spel dat terug te vinden door de gehele symfonie. De 3-11 werkt als verbindingselement tussen de twee tegenpolen, echter is de verbinding van thema C met de neutrale drieklank significanter, omdat het een moment van ‘iets anders’ brengt in het gehoor; een moment van afstand van de dualiteit. ‘The projection of this clearly defined and manageably compact three-part structure makes the movement ideal subject upon which to base a generic model of pitch structure.’[15] Dit model zou de relatie tussen de twee tetrachorden en hun verbonden klanken bondig moeten kunnen presenteren, waarin natuurlijk de taal van set-class genera centraal moet staan en hun karakteristieken duidelijk getekend, zodat de set-class structuur van de muziek gekarakteriseerd kan worden. Op basis van dit model kan vervolgens een bredere observatie van de muziek gemaakt worden.[16]

Het reduceren van het aantal mogelijke cynosures tot een behandelbaar aantal doet Pye volgens Parks preferentieregels die omschreven staan in alinea drie. Hij neemt het besluit om, in plaats van eerst te kijken naar de genera die zoveel mogelijk members in de compositie heeft zitten, te kijken naar het genus die de meeste gelijkenis heeft in toonstructuren. Hij verzekert naar zeggen dat het model daardoor een zo compact mogelijke relatie heeft tot de set-classes die de compositie karakteriseren. Hiermee negeert hij Park die vermeldt altijd te beginnen bij regel één, waarna de volgende drie willekeurig toegepast kunnen worden. Door te beginnen bij regel vier neemt Pye een risico tot het mislukken van de uitslag, echter lijkt het te zorgen dat regel één bij latere toepassing minder werk in beslag zal nemen, omdat veel genera al uitgesloten zijn door een afwijkende toonstructuur. Vervolgens schrijft hij dat een belangrijke consideratie is dat hij niet zoekt naar één genus die de matrix van voorbeeld 3 het best representeert, maar twee genera die de uiterste verschillen van tetrachorden 4-14 en 4-17 het best representeren. Hierdoor zal je de grootste verschillen opmerken, maar ook de duidelijke vlakken van overeenkomst. Zo bestaat een duidelijke overlap van set-classes tussen 4-14 en 4-17, maar ook het gedeelde kenmerk van onnauwkeurige overeenstemming van 4-14 met de bredere diatonische classificatie van materiaal en de omgekeerde, minder uitgebreide, afwijking van het 4-17 complex betreft chromatisch materiaal.[17]

Nadelig worden set-classes die een prominente rol spelen in de harmonische dualiteit door het vooropzetten van regel vier geïsoleerd, terwijl het model het onderscheid tussen de twee chromatische en diatonische uitersten juist duidelijk moet maken. Door deze kritische criteria zullen set-classes die de brede en nauwe banen van dualiteit niet karakteriseren, buitengesloten worden. Bijvoorbeeld de chromatische complex members van 4-14, zoals 6-z48 [012597], of de chromatische set-classes die buiten het 4-17 complex vallen, zoals 5-22. Natuurlijk is het wenselijk dat deze classes meegenomen worden door het generisch model, maar ik denk dat de geringe relevantie in het groter geheel deze sets uiteindelijk ook zal elimineren, waardoor het Pye achterlaat met dertien potentiële cynosures.[18]

In voorbeeld 9 worden vervolgens drie metingen uitgestald. De eerste kolom is het percentage van overeenkomst met de matrix per genus. De tweede heeft te maken met de grootte van de cynosural set complex per genus, gebaseerd op een statistieke berekening van Forte uit 1988. Dit getal is van belang, waar kleine set-class complexen in de context van grote matrixen niet veel informatie weggeven. De berekening voor Squo is; Squo (Ga) = ((X/Y)/Z) x 10. X representeert het nummer representatieve genera in de matrix, Y het totale nummer set-classes in de matrix en Z de grootte van de betreffende genus. De laatste kolom komt uit het proefschrift The Harmonic Species of Frank Bridge: An Experimental Assessment of the Applicability of Pitch-Class Generic Theory to Analysis of a Corpus of Works by a Transitional Composer door Chris Kennet in 1995 waar de limiet van kleine matrixen in het geval van grote set-class complexen wordt weergeven; te maken met de mogelijkheid om het Squo aantal te vervullen. Het percentage laat dus zien in hoeverre de Squo behaald kan worden tegen het maximum mogelijke Squo percentage 100%.[19]

Pye overweegt vervolgens de hoogst gerankte pitch-classes op karakteristieke overeenkomsten met 4-14 en komt tot de conclusie dat het complex 7-35, ondanks dat het maar 36,1% correspondeert met de matrix, het meest overeenkomt met de compositie. 8-22 Lijkt een geschikter kandidaat, maar heeft totaal andere karakteristieken. Daarmee is het complex 7-35 representatief voor de bredere baan van 4-14 geassocieerde set-classes. Ditzelfde doet hij met 4-17, waarbij 8-17 als winnaar naar voren lijkt te komen, maar faalt op het gebied van het brengen van de harmonische dualiteit in de verzameling van set-classes. 3-3 daarentegen heeft de set-classes die 7-35 niet bevat met de overeenkomsten zittend bij set-classes van 8 en 9 tonen. Door de 3-3/4-17 en de 4-14/7-35 genera complexen te vergelijken, zijn de overlappende sets te vinden en kenmerken van de compositie te verbinden met de genera. Een ietwat verwarrende draai die Pye dan maakt, is dat hij toch nog naar de set-class 8-22 kijkt om het probleem van de ontbrekende centraliteit tussen de twee complexen op te lossen. Het toonmateriaal van 8-22 zou bekende klanken voor Schumans diatonische werk en andere composities van zijn tijd in zich hebben. Hij laat de set-class echter na een alinea voor wat het is, waardoor de toegevoegde waarde voor mij onduidelijk is.[20]

De resterende taak is hiermee alleen nog het vaststellen van de karakteristieken van de set classes genera 4-14/7-35 en 3-3/4-17, waarna de karakteristieken gereflecteerd kunnen worden tot de set-classes in de compositie. Hiervoor neemt Pye de karakteristieke set-classes, ofwel de set-classes die het dichtst staan bij de cynosure(s). In voorbeeld 10 zie je de karakteristieke set-classes van 3-3/4-17; met ‘iv’ voor interval vector en ‘sia’ voor successive-interval arrays.

Vervolgens verfijnt hij deze selectie door te kijken naar de set-classes met een hoog level van intersectie met de cynosures en gelijke interval patronen; in dit geval vector 1, 3 en 4. Als gevolg wijst hij set-classes 5-21, 6-15, 6-20 en 7-21 aan, waar ze allemaal een nadruk op iv 1, 3 en 4 hebben en, behalve 6-15, de sia sequens 1-3-1-3. 6-15 heeft echter een mediatie-functie tussen 7-21 en 5-21, zoals te zien in voorbeeld 11.[21]

Wanneer hij de set-classes op de muziek probeert te zetten, komt Pye erachter dat de meest karakteristieke set-classes voor het stuk niet terugkomen in het muzikale materiaal, betreffende 6-20 en 6-15. Dit probleem vertegenwoordigd dan ook de afstand tussen de praktijk en theorie. Het genus 3-3/4-17’s hexachord 6-z19 vertegenwoordigt de finale statement van thema D, maar is theoretisch minder karakteristiek. Door het plaatsen van de genera op de muziek heeft Pye een definitieve karakteristieke set genus opgesteld; zie voorbeeld 12. Met dit complex genus kan dus uiteindelijk de chromatische kant van de harmonische dualiteit in kwantitatieve termen gelezen worden, maar ook de theoretische associatie met de muziek en hun plaats betreft het centrum van het genus 4-17. De complex genus van 4-14/7-35 wordt logischerwijs op dezelfde manier opgesteld; zie voorbeeld 13. Terminologie ‘R2’ betekent hier ‘maximum similarity with respect to interval class’ en ‘Rp’ voor ‘maximum similarity with respect to pitch class’.[22] Logischerwijs is een set-class karakteristiek voor een genus, wanneer het de meest innerlijke elementen van set classes representeert, als ook beide 4-14 en 7-35 of 3-3 en 4-17. Dit laat ons achter met de karakteristieke set-classes van 4-14/7-35 in voorbeeld 14.[23]

Meest opvallend is de relatie tussen de set-classes als gelijk in plaats van aanvullend, natuurlijk door de samenkomst van twee cynosures. Een te verwachten conclusie is dan dat een cynosural tetrachord de grootste invloed heeft over kleine set-classes, aangezien deze geprojecteerd zijn in de muziek, terwijl de grotere classes hun plek verdienen door middel van diatonische kristallisatie; een karakteristiek van de grotere cynosures. Een blijk van deze dualiteit is bijvoorbeeld de minder gefocuste groep van karakteristieke set-classes in het hart van genus 4-14/7-35 die de invloed van het chromatische tetrachord 4-17 bevestigen als ‘type tonica’ en de verbinding leggen met genus 3-3/4-17. De analist is hiermee in staat om de interne dynamiek en relaties tussen pitch-class set-classes beter te begrijpen, maar moet hiermee wel rekening houden met de mate van geschiktheid van het muzikale werk en de gekozen theorie. Forte’s theorie zal meer inzicht kunnen brengen betreft het uitlichten van verschillen en verschuivingen binnen werken en tussen repertoires, terwijl Parks’ theorie geschikter is voor het analyseren van dynamische structuren binnen werken; daarbij blijkt Parks’ theorie gepaster voor composities met grote opeenstapelingen van structurele betekenis. Wat ik immers mis in Pye’s conclusie is een handvat om de resultaten te verwerken tot een betekenisvolle formulering naast de structurele functie.[24]

Uiteindelijk vraagt deze analysetheorie om discretie en aandacht, omdat foutief genoteerde set-classes doorgetrokken kunnen worden tot misplaatste conclusies betreft de gehele compositie. Dit maakt dat voor een gedetailleerd volkomen begrip van de analyse, zonder tussentijdse aannames, elke constatering rekenkundig toegelicht zou moeten worden. De theorie verstrekt geen betekenis of interpretatie van de muziek, maar verstrekt informatie over de veelal ingezette (toon)structuren van het muzikaal object die iets zouden kunnen zeggen over de compositietechniek. Door de Pythagorische methoden komen de klanken van de compositie ver uit beeld te liggen wat zorgt voor een theoretische conclusie betreft muzikale karakteristieken. De vraag is dus hoe je deze informatie uiteindelijk kan toepassen op de muzikale betekenis van een specifieke compositie, met name met tot betrekking op een betekenis voor de luisteraars. De analytische methode heeft daarbij velen stappen nodig om tot het eindresultaat te komen, terwijl de betekenis van de resultaten daarmee nog niet gevonden is; maakt dit de methode omslachtig, waardoor we beter de ‘traditionelere’ analysemethoden op basis van thematisch en motivisch materiaal voorop kunnen stellen? Of brengt deze methode meer gedetailleerde inzichten specifiek op het gebied van intervalstructuren? Mijn antwoord is ja op beiden. De analysemethode verzorgt meer gedetailleerde inzichten op het gebied van intervalstructuren en onderlinge relaties, waardoor de compositietechniek beter toegelicht kan worden, maar voor een interpretatieve betekenis dat zich meer focust op de klanken en functies van de muziek zouden andere, meer traditionele analysemethoden gecombineerd moeten worden.

——————————————————————————————————————————

[1] Richard S. Parks, “Pitch-Class Set Genera: My Theory, Forte’s Theory,” in Music Analysis 17, no. 2 (juli 1998), 206; Allen Forte, “Pitch-Class Set Genera and the Origin of Modern Harmonic Species,” in Journal of Music Theory 32, no. 2 (herfst 1988), 187, 188.

[2] Definitie Z-gerelateerd; verwijst naar een relatie van sets die dezelfde interval-class content bevatten, maar niet gerelateerd zijn door transpositie of inversie. John Roeder, 3. Synopsis., in “Set (ii),” in Grove Music Online, Red. Deane Root (Oxford: Oxford Music Online), http://www.oxfordmusiconline.com/grove

music/view/10.1093/gmo/9781561592630.001.0001/omo-9781561592630-e-0000025512 (geraadpleegd op 28 maart 2018).

[3] Parks, Pitch-Class Set Genera: My Theory, Forte’s Theory, 207, 209.

[4] Parks, Pitch-Class Set Genera: My Theory, Forte’s Theory, 209-211.

[5] Richard C. Pye, “The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony,” in Music Theory Spectrum 25, No. 2 (herfst 2003), 243, 244.

[6] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 243, 244.

[7] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 246.

[8] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 247.

[9] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 249.

[10] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 252.

[11] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 249-251.

[12] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 249, 253-254.

[13] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 254, 255.

[14] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 255, 258.

[15] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 258.

[16] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 258, 259.

[17] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 259-261.

[18] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 261.

[19] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 262.

[20] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 263, 264, 266.

[21] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 266.

[22] Allen Forte, The Structure of Atonal Music (New Haven, Yale University Press, 1973), 46-60.

[23] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 269, 271.

[24] Pye, The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony, 272, 273.

Geraadpleegde literatuur

Forte, Allen. “Pitch-Class Set Genera and the Origin of Modern Harmonic Species.” Music Analysis 17, no. 2 (juli 1998): 187-270.

. The Structure of Atonal Music. New Haven: Yale University Press, 1973.

Parks, Richard S.. “Pitch-Class Set Genera: My Theory, Forte’s Theory.” Music Analysis 17, no. 2 (juli 1998): 206-226.

Pye, Richard C.. “The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony.” Music Theory

Spectrum 25, No. 2 (herfst 2003): 243-274.

Roeder, John. “Set (ii).” in Grove Music Online, Red. Deane Root (Oxford: Oxford Music Online). http://www.oxfordmusiconline.com/grovemusic/view/10.1093/gmo/

9781561592630.001.0001/omo-9781561592630-e-0000025512 (geraadpleegd op 28 maart 2018).

Voorbeelden 1 tot en met 14 zijn overgenomen uit:

Pye, Richard C.. “The Construction and Interpretation of Bespoke Pitch-Class Set Genera as Models of Harmonic Duality in William Schuman’s Sixth Symphony.” Music Theory

Spectrum 25, No. 2 (herfst 2003): 243-274.

Pitch-Class Set Theory Genera met betrekking tot William Schumans Zesde Symfonie

Is muzikale educatie een kinderspel met behulp van gamification?

Verschillende perspectieven in één songtekst: ‘2Faces’ van Phora